在统计科学中，什么是贝叶斯统计理论？
贝叶斯统计理论可能是统计科学中难度最大的一个领域。它的困难不在于数学上而在于概念上：即在于贝叶斯概率解释上。经典的统计学(即到现在为止本书所用过的统计方法)采用频率论者对概率的解释；换名话说，事件发生的概率本质上取决于它在大样本中发生的频率。然而，众所周知，纯粹的相对频率并不是衡量概率的一个无懈可击的基准：我们不能用相对频率来严格定义概率。我们需要一个可以将概率这样的一个抽象的概念与实际的相对频率连接起来的桥梁原理。这已经在文献中得到了广泛的讨论，尤其是在带有哲学倾向的统计文献中，但是在实际中，传统的统计学却把概率定义为大样本中的相对频率。当我们无法取得大样本时，例如在分析尾部事件时，传统统计学就采用理论思考。
频率论解释在现在大多数的估计方法中都有应用。当统计学家计算出实际概率分布时，他们实际上已经将概率与相对频率等同看待了。这个概念也隐含在似然估计方法中。实际上，分布参数的最大似然估计可以解释为使其分布与经验分布尽可能接近的参数。当我们计算经验分布时，也就支持了概率的频率论说法。
在传统统计学中，包含在一个统计模型中的概率分布没有不确定性。传统统计学的观点是：一个给定的总体具有一个真实的分布；而统计学的目的就是从一个总体样本中推断出这个真实分布。
虽然大部分数学方法都与传统统计学相似，但贝叶斯统计理论却是建立在一套不同的概念基础上的。下面三个概念说明了贝叶斯统计理论的特征：
1.统计模型是不确定的；当获得新信息时，模型需要修正。
2.先验概率(或先验分布)与后验概率是有区别的，前者是指基于先验信息的概率估计，而后者是指在得到新信息后对先验概率的修正。
3.连接先验概率和后验概率之间的数学纽带就是贝叶斯定理。
理解上述说法有些困难。前两个说法似乎仅仅是基于事实的常识；而第三种说法是一个简单的数学陈述，我们将在接下来的几段中对它进行举例说明。然而，常识并不能构成科学。最常见的科学解释是：贝叶斯统计理论在本质上讲是一种基于概率主观解释论进行决策的严密方法。
在贝叶斯统计理论中，概率是指以数据作为引导的主观判断。贝叶斯统计理论的完整陈述超出了本书的范围，对其关键点可以总结如下。贝叶斯统计理论的根源在于随着新信息和数据的出现，概率判断也必须相应做出修正。然而，根据贝叶斯统计理论，存在一个不可消除的主观因素，而这个主观因素是由初始的先验概率所给出的，它无法用贝叶斯理论来解释。
认为贝叶斯统计理论仅仅是一个用来进行主观不确定性推断的严密方法，而传统统计学是在真实数据基础上进行推断的观点是错误的。贝叶斯统计理论明确地指出在概率描述中存在某些无法消除的主观因素，并且试图通过修正概率来减少这个主观因素的影响。传统统计学在设立从数据过渡到概率的规则时，也含蓄地承认了这种主观因素的存在。
简而言之，传统统计学和贝叶斯统计学都存在概念上的问题，即概率本身与现实经验没有本质联系。我们无法观察到概率，能观察到的只是一个在概率意义下解释的事件。传统统计学和贝叶斯统计理论中的问题是如何将概率与现实数据联系起来。如果要构建数学上合理的和可解释的概率描述，那么就需要建立两者之间的桥梁原理。
在结束讨论贝叶斯理论之前，注意在金融计量经济学中有一大类文献及相关方法都是建立在实证贝叶斯统计理论的基础上的。在实证贝叶斯理论中，先验概率是由一般的传统方法来估计的，当出现新信息时再对其进行修正。在本章中的后面我们将再介绍这方面内容。
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什么是贝叶斯定理？有哪些表示方法？
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